Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren “PASCAL”
üçgenini oluşturalım.
Kümenin Eleman
Sayısı:
s(A)=0...........................................................1
s(A)=1........................................................1.....1
s(A)=2...................................................1.....2.....1
s(A)=3..............................................1.....3.....3.....1
s(A)=4..........................................1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5......................................1.....5.....10....10.....5....1 ...
Üçgenin
tepesinde 1 yazdık.Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık.Bir
satırda ardışık iki sayının toplamını, bu sayıların ortasına gelecek şekilde
bir alt satıra yazdık.Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik.
Örneğin; s(A)=4 ..............1.....4.....6.....4.....1
s(A)=5..........1.....5.....10.....10.....5.....1
Bu
tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim.
A={a,b,c}
kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım.
0
elemanlı alt kümesi{} 1
tane
1
elemanlı alt kümeleri{a},{b},{c} 3
tane
2
elemanlı alt kümeleri{a,b},{a,c},{b,c}3 tane
3
elemanlı alt kümeleri{a,b,c} 1
tane
s(A)=3
olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz.O halde bu tablo, bir kümenin 0
elemanlı, 1 elemanlı, 2 elemanlı,....alt kümelerinin sayısını gösterir.
Pascal
Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
*6
elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır.(s(A)=6‘nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5
elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu
araştıralım:
3
elemanlı..........10..........(s(A)=5’in satırında 4. sayı)
4
elemanlı..........5..........(s(A)=5’in satırında 5. sayı)
*7
elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1.YOL: (21+35+21+7+1)=120
2.YOL:
2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)
Binom
Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar
terimdeki katsayıları olur.a’nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak, b’nin
kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır.
(a+b)5=?
|
Katsayılar
|
1
|
5
|
10
|
10
|
5
|
1
|
|
A nın kuvvetleri
|
a5
|
a4
|
a3
|
a2
|
a
|
1
|
|
B nin
kuvvetleri
|
1
|
b
|
b2
|
b3
|
b4
|
b6
|
(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5
*(5x-3y)2=?
|
Katsayılar
|
1
|
2
|
1
|
|
5x’in kuvvetleri
|
25x2
|
5x
|
1
|
|
-3y’nin kuvvetleri
|
1
|
-3y
|
9y2
|
(5x-3y)2= 25x2 -2.5x.3y +9y2= 25x2 –30xy +9y2
Yukarda ki
örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu
terimlerin işareti negatiftir.
MATEMATİK DOĞADA VARMIDIR?
Matematiksel kavramların doğada olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şu şekilde savunuyorlar.
Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de görülebilir. Kalemi kağıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz nokta boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “işte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır.
Doğa da matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kağıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne kadar düz yazarsa yazsın çizdiğimiz çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuza kadar gidemez, kimse sonsuzu gösteremez. Kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada π sayısı da yoktur. Çünkü π sayısı 3,141592653... diye sonsuza kadar uzayıp giden bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre yinelenmezler. Bu yüzden, sonsuz olmadığında π de yoktur. Kimse π’yi tam olarak yazamaz. π’yi, bir çemberin(dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, π’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemi yaptığımızda, π’yi değil, π’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur. Doğada “işte çember” diyebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattığı bir kavramdır. Zaten uygulamalarda π gibi gerçel sayılara gereksinim duymayız. 3,14159=314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamalarda yeterlidir. Bu da, π’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?
Doğada π olmadığı gibi, 0.99999999... sayısı da yoktur. Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 gerekir ve ne yazık ki bu iş için zamanımız yok!
Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam olarak belli değildir ki! Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasında sürekli bir molekül alış verişi vardır. Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam olarak ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir miyiz? Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmıştır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarıda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek!
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur.
Matematiğin doğada olmadığı üç aşağı beş yukarı böyle savunulur.
MATEMATİĞİN KAYNAĞI DOĞAMIDIR?
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “π” kavramı vardır.bu kavramlar matematikçilerin yaratısı bile olsa, düşünce olarak bile olsa vardırlar. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiğin doğada olup olmadığı sorusu sorulmazdı. Bu kavramlar yoktan varolmamamıştır. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir.
MATEMATİK VE TEKNOLOJİ
Günümüz ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz göz önüne alınınca, matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı anlaşılıyor. Matematiğin çok soyut kavraları bile zamanla uygulama alanları bulabiliyor. Bu da, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kağıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki bir kavramıyla tansıklık yaratılıyor: uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığyla dünyanın bir köşesiyle ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor... Matematik doğanın yasalarını ve mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan bir bilim dalı ve uğraştır. Teknoloji, bugün matematikle, fizikle, kimyayla ve mühendislik uygulamalarıyla geliştiriliyor. Çalışmalar ilk önce kağıt üzerine dökülüyor, sonra uygulamaya geçiriliyor. 1-Uygulanan matematik vardır
2-Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır.
3-Bugün soyut sanılan matematik gelecekte uygulama alanları bulabilir (bulamayabiklir de).
MATEMATİK DOĞAYI YORUMLAR
Bir ressam yaptığı resimlere doğayı aynen yansıtmaz, onu yorumlayarak yapar. Matematik de resim gibi doğayı yorumlar. Örneğin iki nokta arasındaki uzay parçası matematikte bir sayıyla (iki nokta rasındaki uzaklıkla) ifade edilir. Elbette bir sayı ile bir uzay parçası arasında ayrım vardır. Burada bir yorum söz konusudur.
Bir başka örnek: beş metre uzunluğunda bir cetvel üzerinde π’nin yerini tam olarak gösteremeyiz. O zaman doğada fiziksel anlamda π sayısının olup olmadığını nerden biliyoruz?
Biraz daha ileri gidelim. Doğada, fiziksel anlamda, 0’dan büyük ama 1/2’den, 1/3’ten, 1/4’ten ve genel olarak n>0 tamsayısı için 1/n’den küçük bir sayının olmadığını kabul ediyoruz. Yani, sonsuz küçük sayıların doğada fiziksel anlamda olmadıklarını kabul ediyoruz. Neden? Nereden belli? Belki sonsuz küçük sayılar var da biz gözlemleyemiyoruz. Böyle bir olsılık vardır. Hiç kimse bu sayıların doğada olmadıklarına güvence veremez.
Son bir örnek: matematikte 3 sayısı {0,1,2} kümesi olarak, 2 sayısı {0,1}, 1 sayısı {0} olarak tanımlanır. 0 sayısıysa Ø olarak, yani boş küme olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi sayıların matematiksel tanımı bir yorumdur.
Demek ki matematik doğayı yorumlar, tam olarak betimlemez.
MATEMATİK DOĞADA VARDIR
Matematik, doğayı –yaklaşık olarak bile olsa- anlamamızı sağlar. Teknolojik gelişmeler bunun bir kanıtıdır.
Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız, duyumsadıklarımız değildir. Doğanın bize sergiledikleri de vardır. Örneğin, matematiksel doğru doğada fiziksel olarak bulunmayabilir, ama doğru düşüncesi (kavramı) doğada vardır ve doğa bize doğru kavramını sezdirtir. Upuzun bir ağaç, denizle gökyüzünü ayıran çizgi, güneş ışınları doğru kavramını fısıldarlar. Bal peteğinin hücreleri matematiksel altıgeni, gece gördüğümüz yıldızlar matematiksel noktayı, ay, güneş ve gezegenler matematiksel çemberi ve küreyi fısıldarlar. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Geçen günler, mevsimler ve yıllar, bir ormandaki ağaçlar, bir bitkinin yaprakları, 1, 2, 3 gibi sayı kavramlarını fısıldarlar. Bu fısıltı biz insanlardan bağımsız vardır. Bu fısıltıyı duyabilecek varlık olmasa da fısıltı vardır.
Doğada “işte!” diye gösterebileceğimiz bir “bir” olmayabilir. Ama doğa bize “bir” kavramını fısıldar. Avustralya ve Afrika’nın yerlileri de, Aztekler de, İnkalar da, Batı kültürüyle tanışmamış olmalarına karşın, 1’i, 2’yi, 3’ü bulmuşlardır. Demek ki doğanın bu fısıltısını duymak yalnızca bir uygarlığa özgü değildir, her uygarlık duyabilir. Arı peteğinin her hücresi kusursuz bir altıgen olmayabilir. Ama arı, peteğinin hücresini yaparken hücrenin altıgen olmasına çalışır. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmayabilir, ama sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Sonsuz küçük sayılar fiziksel olarak olsa da olmasa da, bu sayılar doğada düşünce/fısıltı olarak vardırlar, örneğin durmadan küçülen ama hiçbir zaman sıfır olmayan ½, 1/3, ¼, 1/5... dizisi bize sonsuz küçüğü anlatır.
SONUÇ OLARAK; en temel matematiksel kavramlar doğada vardır. Matematiğin en derin, en soyut kavramları doğanın bize sunduğu en temel kavramlardan bir zorunluluk sonucu doğar. Her kavramın bağrında da başka kavramlar barınır.
Matematik, matematikçilerden ve insanlardan bağımsız olarak vardır. Pisagor diküçgenleri yaratmamıştır, keşfetmiştir. Galois, grupları yaratmamıştır, keşfetmemiştir. Noether, halkaları yaratmamıştır, keşfetmiştir. Hilbert, Hilbert uzaylarını yaratmamıştır, keşfetmiştir...
Kısacası matematik doğada vardır.
Pİ SAYISININ TARİHSEL GELİŞİMİ
ESKİ YUNAN'DA Pİ SAYISI
Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes'in gençlik yıllarında Mısır'da uzun bir süre öğrenim gördüğü bilinmekte.
Archimedes'in sağlığında İskenderiye'de Öklid den ders aldığı, Öklid'in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. İskenderiyeli tarihçi Herodot, metrika adlı eserinde pi sayısı için verdiği değer 3,71'dir. Bu değer, İskenderiyeli Heron'dan sonra gelen, eski Yunan ve ortaçağ matematikçileri tarafından farklı değerler kullanılmıştır. İskenderiyeli Heron'un verdiği yaklaşık değerin de, Mezopotamya menşeli olması ve Mezopotamyalılar'dan alınma takribi bir sonucu temsil etmesi muhtemeldir.
MEZOPOTAMYALILAR'DA Pİ SAYISI
Pi sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak p=3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde p=3,125 değerine de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde, "Mezopotamyalılar'da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur" der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin kullanılmış olduğunu belirtir.
Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125 değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılarınki'nden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.
Bugün bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden birçok problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Mesela: Bu tablette, bir dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor. Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor.
Pİ SAYISININ 1000 BASAMAKLI AÇILIMI
3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445
92307816406286208998628034825342117067982148086513 2823066470938
44609550582231725359408128481117450284102701938521 1055596446229
48954930381964428810975665933446128475648233786783 1652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273 724587006606
31558817488152092096282925409171536436789259036001 1330530548820
46652138414695194151160943305727036575959195309218 6117381932611
79310511854807446237996274956735188575272489122793 8183011949129
83367336244065664308602139494639522473719070217986 0943702770539
21717629317675238467481846766940513200056812714526 3560827785771
34275778960917363717872146844090122495343014654958 5371050792279
68925892354201995611212902196086403441815981362977 4771309960518
70721134999999837297804995105973173281609631859502 4459455346908
30264252230825334468503526193118817101000313783875 2886587533208
38142061717766914730359825349042875546873115956286 3882353787593
75195778185778053217122680661300192787661119590921 64201989...
TÜRK-İSLAM DÜNYASI'NDA Pİ SAYISI
15. yüzyıl Türk - İslam Dünyası ünlü matematik ve astronomi alimi, Giyasüddin Cemşid, pi sayısının değerini, 16 ondalığa kadar doğru olarak hesaplayan ilk kişidir. Cemşid'in pi için verdiği değer p=3,1415926535898732 dir. 15. yüzyılda, pi sayısının, ancak 6. ondalığına kadar olan değeri bilinmiş olduğuna, 16. ondalığa kadar doğru değerin de, batı bilim dünyasında, Hollandalı matematikçi Adriaen van Rooman tarafından, doğru olarak hesaplandığına göre, Gıyasüddin Cemşid'in bu konuda da, zamanının matematiğinden 200 yüzyıl ileride olduğu ortaya çıkmaktadır.
MATEMATİK VE MÜZİK
Eski çağlardan beri müziğin matematik ile ilişkisi biliniyordu. Ortaçağda eğitim programlarında müzik, aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Günümüzde bilgisayarlar aracılığı ile bu bağ sürüyor.
Matematiğin müzik üzerindeki etkisinin açıkça görülebildiği alan, müzik parçalarının yazımıdır. Bir müzik parçasında ritim (4:4'lük, 3:4'lük, gibi), belirli bir ölçüye göre vuruş, birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik... notalar bulunur. Bir ölçüye göre n sayıda nota yazmak, matematikte ortak paydayı bulmaya benzer, çünkü belirli ritimde, değişik uzunluktaki notalar belirli bir ölçüye uydurulur. Besteciler, yapıtlarını nota yazısının katı kalıpları çerçevesinde, mükemmel bir biçimde ve zorlanmadan yaratırlar. Karmaşık bir beste incelendiğinde, her ölçünün, değişik uzunlukta notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür.
Matematik ile nota yazımının arasındaki bu ilişkinin yanı sıra müzik, oranlar, üstel eğriler, periyodik fonksiyonlar arasındaki ilişki de değerlendirilir. İlk kez oranlar ile müziği PISAGOR cular ilişkilendirmiştir. Sesin, çekilen bir telin uzunluğuna bağlı olduğu fark edilerek müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişki bulundu. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin armonik sesler verdiği görüldü. Gerçekten de çekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı biçiminde gösterilebilir. Örneğin, C(do) notasını çıkaran bir teli ele alalım. C'nin uzunluğunun 16/15'i B'yi (si), 6/5'i A'yı (la, 4/3'ü G'yi (sol), 3/2'si F'yi (fa), 8/5'i E'yi (mi), 16/9'u D'yi verir.
Kuyruklu pianonun biçiminin neden eğri olduğunu düşündünüz mü? Gerçekten bir çok müzik aletinin biçimi ve yapımı matematiksel kavramlara dayanır. Üstel fonksiyonlar ve eğriler bu kavramlardandır. Üstel bir eğrinin denklemini y=a*kx (k>0) olarak düşünebiliriz. Telli ve üflemeli çalgıların biçimler bu üstel eğrinin biçimiyle eşlenebilir.
Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19.yy'da matematikçi [Linkleri sadece kayıtlı üyelerimiz görebilir.ForumTR üyesi olmak için tıklayınız]'in çalışmalarıyla doruğa çıktı. O, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini, bunun da basit periyodik sinüs fonksiyonlarıyla olabileceğini kanıtladı. Her sesin, onu başka müzikal seslerden ayıran üç özelliği vardır:
perdesi
yüksekliği
dokusu
Fourier'in buluşu, sesin bu üç özelliğinin grafikle gösterilmesini sağlamıştı. Ses dalgası, eğrinin frekansıyla: sesin yüksekliği, eğrinin genliğiyle ve sesin dokusu periyodik fonksiyonun biçimiyle ilişkilidir.
Müziğin matematiğinin kavranmasıyla, beste ve müzik aletleri yapımında bilgisayarlardan yararlanmak mümkün olmuştur.
1) Matematik doğanın dilidir.
2)Etrafımızdaki her şey sayılarla tanımlanabilir ve anlaşılabir.
3)Rakamları hangi sistemde grafiğe dökerseniz dökün bir şablon çıkar.
Bu yüzden doğada her yerde şablonlar vardır. Kanıt, bulaşıcı hastalıkların döngüsü, dil popülasyonlarının artması ve azalması, güneş lekesi döngüleri, Nil nehrinin yükselip-alçalması.
Peki Borsaya ne demeli..? Rakamların evreni, bize evrensel ekonomiyi gösteriyor milyonlarca insan bir işte çalışıyor, milyonlarca akıl hızlı ağlar yaşamla doluyor.
Bir şeyin boyutlar arasında meydana geldiği fikri ile ne kast edildiğini anlamak için sıradan bir mektup kağıdını düşünün. Kağıt iki boyutluk bir düzlem, boy ve eni temsil etsin. Düzlemi buruşturup bir top haline getirin. Şimdi kaç boyutu var? Tam olarak küre değil, ama artık bir düzlem de değil. Benzer şekilde, bir sahil şeridi de sıradan tek boyutlu bir çizgiden farklıdır. Tek düz bir çizgiden ziyade bir düzlemin yüzeyinde olabildiğince çok matematiksel noktadan geçecek derecede buruşuk ve kırışıktır.
Karmaşık sayı düzlemi matematiksel yapının bir bölgesinde kurulmuş bir sayılar çalılığıdır. Matematikçiler ve bilgisayarcılar, bu bölgedeki sayılara doğrusal olmayan (geri bildirimli) basit formül ya da bir algoritma uygulayıp, bunu bilgisayar vasıtası ile grafiğe dönüştürdüklerinde belirli bir organik niteliği olan ve sanatı andıran çok çekici görüntüler elde edebilirler.
03 Eylül 2008
11
:43 |
Spinoza
|
0
fav |
0
yorum
| etiket:
analitik
,
cebir
,
doğal sayılar
,
eğitim
,
geometri
,
integral
,
karmaşık sayılar
,
matematik
,
trigonemetri
,
trigonometri tarihi
,
türev Mezopotamyalılar'da Trigonometri
İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mezopotamyalılar'da, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin "ilkel ve fasılalı" bir örneği ile karşılaşılmakta olduğunu, ve Hipparchos'un trigonometri çalışmalarının, ilkel başlangıcının "Mezopotamya Matematiğine" kadar geri gitmesinin mümkün sayılabileceğini belirtmektedir. Aydın Sayılı, adı geçen eserinde bu konuda geniş bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menşeinin Mezopotamyalılar'a kadar geri gittiğini ve Mezopotamyalılar'dan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmiş olduklarını ileri sürebiliriz" der.
Eski Yunanlılar'da Trigonometri
Trigonometride: "Herhangi bir üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir" şeklinde temel bir teorem vardır. Bu teoremin adı Fisagor Teoremi olarak bilinir. Gerçekte; bu teoremin varlığı, Fisagor'dan ortalama 2000 yıl kadar önceleri, Eski Mısır ile Mezopotamyalılar Babil çağında bilinmekte idi. Mezopotamyalılar, bu teoremin, hem özel ve hem de genel şeklini biliyorlardı. Bilim tarihi eserleri; Tales'in (Miletos, M.Ö. 640 ?-548 ?) Fisagor (M.Ö. 569 ?-500 ?) ve Öklid'in (M.Ö. 330 ?-275 ?), Eski Mısır ve Babil yörelerini uzun yıllar dolaşmış olduklarını belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Mısır ve Babil'den elde etmiş olduklarını açıklar.
Eski Mısırlılar ve Trigonometri
İnceleyebildiğimiz kaynaklar; Mısır Matematiğinde seked veya sekd kelimelerinin, bir açının cotangent'ına denk anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin, başlangıcını eski Mısırlılar'a kadar götürmenin gerektiğini belirtir. Bu konuda Aydın Sayılı Mısırlılar'da ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde şunları yazar: Mısır'da seked dışında, bu konuda herhangi bir gelişmeye şahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla aynı olan bir kavramla, "Mezopotamya Matematiğinde" de karşılaşılmakta olduğu ve trigonometrinin başlangıcını Mısırlılar'a götürmek isabetli düşünce sayılmaz. "Mısır Geometrisinin", "Doğru Geometrisi" olarak vasıf taşıdığını belirterek, müşterik Gandz'a atfen de Mısır'da "Açı Geometrisinin" mevcut olmadığını belirtir.
Türk-İslam Dünyasında Trigonometri
İçinde bulunduğumuz yüzyılda yapılan bilimsel araştırmalar göstermiştir ki; trigonometriye ait temel bilgiler, 8. ile 16. yüzyıl Türkİslam Dünyası matematikçileri tarafından ortaya konulmuş ve belli bir noktaya kadar da geliştirilmiştir. Bunun nedenini, şu şekilde açıklamak mümkündür. Bilindiği gibi, 8. ile 16. yüzyılda Türk-İslam Dünyası'nın hemen her yöresinde astronomi (gökbilim) çalışmaları ve bunun sonucu olarak da, yoğun bir rasathane (gözlemevi) kurma çalışmaları vardı. Bu rasathanelerdeki bilimsel çalışmalarda, astronomiye yardımcı olarak, trigonometri kullanılmaktaydı.
Astronominin temelini teşkil eden küresel astronomi, doğrudan doğruya, küresel trigonometrinin astronomiye uygulanmasından doğmuştur. Gezegen ve uydu ile yıldızların gökküresindeki yerleri (koordinatları) ve hareketleri ile ilgili hesaplamalar; küresel üçgenin,
küresel trigonometriye uygulanmasıyla elde edilebilmektedir. Dolayısıyla, o devir Türk-İslam Dünyası'nda, Trigonometri müstakil bir bilim haline gelmiş ve oldukça gelişmiştir. 8. ile 16. yüzyıl Türk-İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırlamış oldukları "Ziyc" adlı eserin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri, ilk olarak ortaya konulmuştur. Gene bu devir Türk-İslam Dünyası bilginleri, Batlamyos'un (Claidius ptolemeios 85-160) ünlü eseri, değişik tarihlerde değişik matematik ve astronomi
bilginleri tarafından mıcıstı (al-magesti) adıyla şerh edilmiştir. Bu şerhlerde de, yer yer trigonometri bilgileri zenginleştirilip geliştirildi. Batı'da objektif olarak hazırlanmış, matematik tarihi ve astronomi tarihi ile ilgili eserlerde, bu hükümlerin açık olarak belirtildiğini görmek mümkündür..
olduğundan 
lduğu bilindiğine göre sayısı nedir?